男女と文理の選択に関係はあるか？（独立性の検定）

今回は数学のハナシ。

独立性の検定について。

確率分布とかの話もしてないのに。。。

確率でいうと、独立の定義ってのは、

事象 ${A_1 , A_2 ,\cdots, A_N}$ が独立

${\leftrightarrow P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_N) = P(A_1)P(A_2) \cdots P(A_N) }$

です。

そんで独立性の検定では、

独立かどうかわからないものに対して、

データからある値を計算をして、

それらが独立か、それとも関係があるのか

を考える、と。

とりあえず確率分布とかは調べてもらうということで、、、（笑）

母集団が性質 ${A_1 , A_2, \cdots ,A_m}$ という性質のどれか1つと性質 ${B_1 , B_2, \cdots ,B_n}$ のうちどれか1つをもつとし、

${P(A_i,B_j)=p_{ij},　p_i= \sum_{j=1}^{n} p_{ij},　q_j = \sum_{i=1}^{m} p_{ij}　(i=1,\cdots,m　,j=1,\cdots,n) }$

とするとき、

$\chi^2 := \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{(x_{ij} - N p_i q_j)^2}{N p_i q_j}$

は、自由度 ${(m-1)(n-1)}$ の ${\chi^2}$ 分布に従う（としてよい）。（＊）

というものです。

例えば、、、

大学生男女100人ずつに文系か理系かを尋ねて、

性別が文系理系の選択に関係があるかを考えてみます。

性別と文理は独立である。という仮説の下で考えます（＝帰無仮説）。

次のような結果（＝実測値）が得られたとすると。。。

f:id:sx_somath:20170628193108p:plain

この表から、理論値を計算します。

理論値はの計算の例は、

${P(文系の男)×(全体の人数)=P(文系である)P(男である)×(全体の人数)=\frac{122}{200} × \frac{100}{200} × 200}$

といった感じです。

${P(文系の男)=P(文系である)P(男である)}$

この変形は初めにやった独立の定義ですネ。

結果がこれ。

f:id:sx_somath:20170628201319p:plain

ここから、

統計量（（＊）の式です）を求めます。

実測値と理論値の各セルで、

${ \frac{(実測値-理論値)^2}{　　　　理論値　　　　}}$

を計算します。

するとこんな感じ。

f:id:sx_somath:20170628213754p:plain

すると、この右下にいる「計」の数字が統計量と呼ばれる数値です。

あとはこの数値と ${\chi^2}$ 分布表の値を比較すればOK！

今回は自由度1=(2-1)(2-1)なので、今回は危険率（外れる確率）を1%とすると、

${\chi^2 _1 (0.01)=6.83}$ だから、統計量の方がすげーでかい。

今回の検定では、

統計量のほうが大きいときは、

仮説を棄却（仮説が間違っていた！）して、

今回の結果からは文系理系の選択には性別が関係ある

と判断する。

といった流れです。（長かった。。。）

高校のクラス分けとかだと理系クラスの男子率すごいよね。

疲れたからここまで！！！